47. Facciamo due conti!
Il professor Somma ed il professor Prodotto sono due logici perfetti, capaci di dedurre quasi istantaneamente tutte le verità da qualunque sistema di assiomi.
Un giorno uno studente incontra i due professori al bar dell'università e gli chiede: "Mi permettete una domanda?"
"Certo!"
"Ho scelto due numeri interi compresi tra 2 e 100 e questa è la loro somma."
Lo studente dà un foglio al prof. Somma. L'altro professore non vede cosa c'è scritto.
Lo studente aggiunge: "E questo è il loro prodotto."
Dà un altro foglio al professor Prodotto. Il prof. Somma, naturalmente, non vede cosa c'è scritto.
"Sapete dirmi quali numeri ho pensato?"
Prof. Prodotto: "Non sono in grado di determinarli."
Prof. Somma: "Io lo sapevo che tu non eri in grado di determinarli."Prof. Prodotto: "Beh, se dici così allora io so che numeri sono!"
Prof. Somma: "Ora lo so anch'io!"
E dicono in coro i due numeri che ha pensato lo studente.
Quali sono i due numeri?
Soluzione
17 è la somma, 52 è il prodotto e i numeri sono 4 e 13.
Ecco come si arriva alla soluzione:
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1) Il professor prodotto non riesce a determinare la soluzione. Cosa ne deduciamo? Sicuramente i due numeri non sono primi, altrimenti li avrebbe individuati (ricordiamo che il numero 1 non è ammissibile per il problema). Inoltre nella scomposizione in fattori primi del prodotto (scomposizione formata quindi da almeno tre termini) non ci possono essere numeri primi maggiori di 50 (53 è il più piccolo numero primo maggiore di 50), altrimenti la soluzione sarebbe determinata (il 53 o un numero superiore non può essere moltiplicato per nessun altro numero intero maggiore di 1 senza superare il 100).
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2) Il professor Somma sapeva, solo dalla somma dei due numeri, che il professor Prodotto non avrebbe saputo dare subito la soluzione, quindi possiamo escludere tutte le somme maggiori o uguali a 55 (tutti i numeri dal 55 al 197 sono vedibili come somma dei numeri primi 53 o 97 più un altro numero da 2 a 100, le somme 198, 199, 200 sono facilmente escludibili perchè le uniche coppie di numeri possibili sono identificabili dal prodotto). Possiamo escludere tutte le somme che possono essere somme di due numeri primi, altrimenti il professor somma non avrebbe potuto essere sicuro che il collega non potesse identificare i numeri. Questo ci permette di escludere tutte le somme pari (infatti tutte le somme pari possono essere somme di due numeri primi, solo qualche esempio: 14 = 11 + 3; 18 = 11 + 7; 24 = 17 + 7; 36 = 31 + 5 e così via) e tutte le somme dispari ottenibili da un numero primo più 2 (unico primo pari). Ci rimangono 11 somme possibili: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51 e 53, con "solo" 169 possibili coppie (tra le migliaia iniziali).
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3) A questo punto il professor Prodotto ha individuato il risultato, grazie alla sua informazione (lui il prodotto lo sa), questo significa che una sola coppia tra le 169 possibili è compatibile con il prodotto. Quindi possiamo escludere tutte le coppie il cui prodotto coincide con il prodotto di un altra coppia. Le coppie residue sono allora 102.
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4) A questo punto anche il professor Somma individua la soluzione, il che la fa individuare anche a noi (senza sapere la somma!). Infatti possiamo eliminare tutte le coppie che hanno una somma uguale ad un altra. tra le 11 possibili somme, prima individuate una sola ha mantenuto 1 sola possibile coppia di numeri (il 17, con prodotto 52 e numeri 4 e 13) Le altre non vanno bene (sono ad esempio 3 le coppie che danno come somma 27).
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